Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики

Государственное образовательное учреждение

высшего проф образования

«Арзамасский муниципальный педагогический институт

имени А. П. Гайдара»


Кафедра методики дошкольного и исходного образования.


Белужонков А. В.

студент IV курса,

факультета дошкольного

и исходного образования

направление - Педагогика


Выпускная квалификационная работа


Формирование вычислительных Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики способностей сложения и вычитания

в исходном курсе арифметики


Научный управляющий:

кандидат педагогических наук, доцент Востокова Е.В.


Арзамас, 2010

Содержание


Введение………………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретические базы формирования вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников..……………………………………6

1.1. Из истории появления систем Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики счисления…………………………...6

1.2. Запись и заглавие чисел в десятичной системе счисления……………...9

1.3. Количественные и порядковые натуральные числа. Счет……………..13

1.4. Методы сложения и вычитания натуральных чисел в

десятичной системе счисления……………………………………….……….19

Выводы по главе 1…………………………………………………………………….26


Глава 2. Методические особенности Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики формирования вычислительных способностей младших школьников в процессе обучения арифметике……………………………28

2.1. Навык как база учебной деятельности школьников…………………..28

2.2. Базы формирования у младших школьников устных и письменных вычислительных способностей……………………………………………………………..44

2.3. Методические особенности формирования вычислительных способностей сложения и вычитания Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в младшей школе…………………………………………..48

2.4. Дидактические игры и упражнения, направленные на формирование вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников…….....61

Выводы по главе 2……………………………………………………………………...67

Заключение. …………………………………………………………………………….68

Литература………………………………………………………………………………69


Введение


Одной из главных задач исходного курса арифметики является Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики формирование вычислительных умений и способностей и, а именно, способностей выполнения арифметических действий сложения и вычитания. Понимание смысла этих действий, их связь, крепкое усвоение таблиц сложения и вычитания, также алгоритмов письменного сложения и Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вычитания является тем фундаментом, на котором базируется исследование бессчетных следующих тем курса арифметики. Совместно с тем, при исследовании арифметических действий сложения и вычитания учащиеся часто испытывают затруднения, связанные с запоминанием табличных случаев сложения и вычитания Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, с усвоением правил выполнения этих действий и т.п. Потому для заслуги добротных результатов учителю нужно проводить постоянную работу, направленную как на крепкое усвоение детками познаний, умений и способностей по Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики нареченной теме, так и на их улучшение.

Более действенный итог при формировании вычислительных способностей у младших школьников дает каждодневная работа не только лишь с рядом однотипных тренировочных упражнений по данной теме, да и заданий Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики занятного нрава. Заинтригованность деток лучшим образом сказывается на усвоении материала и применении его на более высочайшем уровне в предстоящем при формировании новых понятий, новых вычислительных приемов. Также огромное значение для выработки крепких Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики познаний по этой теме имеет не только лишь количество выполняемых упражнений, да и темп их выполнения.

Данный вопрос довольно хорошо освещен в учебно-методической литературе. Но периодические проверки познаний Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, умений и способностей у учащихся исходных классов по арифметике свидетельствуют, что число допускаемых ошибок в решении примеров и задач на вычисление остается довольно высочайшим.

Потому нужно в протяжении всего исходного периода обучения развивать, улучшать Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вычислительные способности малышей при выполнении арифметических действий. Это относится и к запоминанию детками табличных случаев сложения и вычитания и умений использовать теоретические познания на практике выполнения арифметических действий, развивать их и улучшать. Все Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вышеупомянутое свидетельствует об актуальности темы исследования.

^ Целью исследования является раскрытие теоретических и методических основ формирования вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников в процессе обучения арифметике.

^ Объект исследования - процесс обучения арифметике Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в младшей школе.

Предмет исследования – методические особенности совершенствования вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников.

^ Догадка исследования: если в процессе обучения их арифметике использовать методический комплекс упражнений и Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики особые методические приемы сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, то уровень сформированности вычислительных способностей сложения и вычитания целых неотрицательных чисел у младших школьников повысится.

Исходя из поставленной цели можно сконструировать последующие задачки Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики исследования:

Для решения поставленных в работе задач использовались способы исследования: анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы; анализ учебников, школьных программ по арифметике для исходных классов; исследование и обобщение опыта работы учителей исходных классов; наблюдение за Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики работой учителей и учащихся на уроках арифметики.


Глава 1. Теоретические базы формирования вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников


1.1. Из истории появления системы счисления.

Понятие числа появилось в глубочайшей древности. Тогда Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики же появилась и необходимость в заглавии и записи чисел.

Язык для наименования записи чисел и выполнения действий над ними именуют системой счисления [41].

Именовать числа и вести счет люди научились еще до возникновения Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики письменности. В этом им помогали, сначала, пальцы рук и ног [45]. С незапамятных времен употреблялся еще таковой вид инструментального счета, как древесные палочки с засечками, шнуры и веревки с узлами. Веревочные счеты с узелками Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики употреблялись в Рф и в почти всех странах Европы.

Метод "записи" чисел с помощью зарубок либо узлов был не очень комфортным, потому что для записи огромных чисел приходилось делать много зарубок либо узлов Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, что затрудняло не только лишь запись, да и сопоставление их вместе, тяжело было делать и деяния над числами. Потому появились другие, более экономные методы записи чисел: счет стали вести группами, состоящими Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики из схожего числа частей. Вместе с группами по 10 частей, встречались группы по 5, 12, 20 частей. Так счет двадцатками использовали люди племени майя. «Следы» такового счета сохранились в датском и неких других европейских Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики языках. Время от времени применялся счет пятками, также группами в 12 частей. В Старом Вавилоне считали группами по 60 единиц.

К примеру, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5.

Записывалось такое число при помощи всего 2-ух Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики символов, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц. Древневавилонская система употребляется до сего времени при счете времени и углов в минутках и секундах.

Наибольшее распространение получила Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики десятичная система записи чисел.

Эта система, принятая на данный момент практически везде, базирована на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Десятичная система счисления появилась в Индии Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в VI в. Но вид индийских цифр существенно отличается от современной их записи. В течение многих веков, переходя от народу к народу, древние индийские числа много раз изменялись, пока приняли современную форму.

Первыми Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики заимствовали у краснокожих числа и десятичную систему счисления арабы. Распространению же этого метода записи чисел и правил выполнения арифметических действий над числами содействовала книжка среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индийском счете Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики», сделанная им сначала IX в.*

Европейцы познакомились с достижениями идноарабской арифметики в X в. Расширение торговли повлекло за собой существенное усложнение счета, появилась потребность совершении способов счета. Потому европейские арифметики обратились к трудам Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С десятичной системы счисления европейцы познакомились через переход книжки аль-Хорезми. Заглавие перевода звучало: "Об индийском числе, сочинение Алгоризми". (Выход этой книжки содействовал Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики рождению термина "метод".)

В 1202 г. выходит "Книжка абака" Л. Фибоначчи, где также вводится индийские числа и нуль. С XIII в. начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала везде употребляться Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в странах Западной Европы.

Распространению десятичной системы в Рф содействовала книжка первого российского известного педагога-математика Л. Ф. Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая в 1703г. на славянском языке. Она являлась энциклопедией математических познаний Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики тех пор. Все вычисления в ней проводятся с помощью цифр индийской нумерации.

В «Арифметике» выделено особенное действие «нумерацию, либо счисление»: «Нумерация есть счисление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики могут 10 такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из их девять означающих; последняя же 0 (которая цифрой либо ничем называется), если стоит одна, то сама по для себя значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики-либо означающий, то возрастает в 10 раз».

Конкретные числа в книжке Л. Ф. Магницкого именуются «перстами»; числа, составленные из единиц и нулей, - "суставами"; все другие числа – «сочинениями». Таблица с наименованиями круглых чисел доведена Магницким Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики до числа с 24 нулями.

Различаются позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же символ может обозначать разные числа зависимо от места ( позиции ), занимаемого этим знаком в записи Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики числа. Такая шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными [23].

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый символ (из совокупы символов, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики от места ( позиции ), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером таковой системы может служить римская система, появившаяся в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для условных чисел Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики: единица обозначается - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, тыща - M.

Все другие числа получаются с помощью 2-ух арифметических операций: сложения и вычитания.

Вычитание делается тогда, когда символ, соответственный наименьшему узловому числу, стоит перед знаком Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики большего узлового числа.

К примеру, IV - четыре, XC - девяносто.

В Рф до XVII в. в главном употреблялась славянская нумерация, более стройная и комфортная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики числа изображались знаками славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особенный символ - титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская либо славянская, были удобнее, чем засечки на бирках, так как позволяли Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики записывать огромные числа. Но выполнение действий над ними в таких системах было очень сложным делом. Потому на замену им пришла десятичная система счисления, хотя запись чисел в римской нумерации время от времени употребляется и в Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики наше время.


^ 1.2. Запись и заглавие чисел в десятичной системе счисления

Как понятно, в десятичной системе счисления для записи чисел употребляется 10 символов (цифр). 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из их появляется конечные последовательности, которые являются короткими записями Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики чисел. К примеру, последовательность 3745 является короткой записью числа 3·103+7·102+4·10+5.

Определение: десятичной записью натурального числа х именуется его представление в виде: х = an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0, при этом коэффициенты an, an-1,…, a1, a Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики0 принимают значение 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и an0. Сумму an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0 в короткой форме принято записывать так: anan-1…a1a0 [41].

Потому что понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики десятичной записи натурального числа нужно обосновывать.

Аксиома. Хоть какое натуральное число х можно представить в виде х=an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0 (1), где an, an-1,…, a0 принимают значение 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и такая Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики запись единственная.

^ Подтверждение существования записи числа х в виде (1). Посреди поочередных чисел 1, 10, 102, 103,…, 10n,… найдем самую большую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10nх<10n+1, что всегда можно сделать. Разделим (с Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики остатком) число х на 10n. Если личное этих чисел обозначить через an, а остаток xn, то х = an·10n+xn, где an<10 и xn<10n. Дальше, разделив xn на 10n-1, получим: xn=an-1·10n Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики-1+xn-1, откуда x = an·10n+an-1·10n-1+xn-1, где an-1<10 и xn-1<10n-1. Продолжая деление, дойдем до равенства x2=a1·10+x1. Положив х1=а0, будем иметь х = an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0, т.е Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики. число х будет представлено в виде степеней числа 10 с коэффициентами, наименьшими 10, что и значит возможность записи числа х в десятичной системе счисления.

^ Подтверждение единственности представления числа х в виде Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики (1). Число n в равенстве (1) совершенно точно определяется условием: 10nx<10n+1. После того как n определено, коэффициент an находят из условия: an·10nx<(an+1)·10n. Дальше, аналогичным образом определяются коэффициенты an-1,…, a0.

Десятичная запись числа позволяет Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики просто решать вопрос о тм, какое из низ меньше (больше).

Аксиома. Пусть x и y – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

x = an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0,

y Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики = bm·10m+bm-1·10m-1+…+b1·10+b0.

Тогда число х меньше числа y, если выполнено одно из критерий:

а) n
б) n = m, но an
в) n = m, an = bn,…,ak = bk Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, но ak-1
Подтверждение. В случае а) имеем: потому что n
Аналогично доказывается аксиома и в случае в).

К примеру, если Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики х=3456, а у=3467, то х<у, потому что число тыщ и сотен в записи однообразное, но 10-ов в числе х меньше, чем 10-ов в числе у. Итак, в десятичной системе хоть какое Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики натуральное число х представляется в виде

x = an·10n+an-1·10n-1+…+a1·10+a0 = anan-1…a1a0, где an, an-1,…, a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и an0.

Числа 1, 10, 102,…, 10n при таком представлении именуют разрядными единицами соответственно первого Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, второго,…, n+1 разряда, при этом 10 единиц 1-го разряда составляют одну единицу последующего высшего разряда, т.е. отношение примыкающих разрядов равно 10 – основанию системы счисления [24].

Три первых разряда в записи числа Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики соединяют в одну группу и именуют первым классом, либо классом единиц. В 1-ый класс входят единицы, 10-ки и сотки.

4-ый, 5-ый и 6-ой разряды в записи числа образуют 2-ой класс – класс тыщ Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики. В него входят единицы тыщ, 10-ки тыщ и сотки тыщ.

Потом следует 3-ий класс – класс миллионов, состоящий тоже из 3-х разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов и сотен миллионов Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики.

Следующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тыщ, миллионов и т.д. делает удобства для записи и чтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики дать заглавие, имя. Это достигается последующим образом: имеются наименования первых 10 чисел, потом из их в согласовании с определением десятичной записи и методом добавления еще немногих слов образуются наименования следующих чисел. Так, числа второго 10-ка (они Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики представляются в виде 1·10+а0) образуются из соединения первых 10 заглавий и несколько модифицированного слова “10” (“дцать”): одиннадцать – один на 10, двенадцать – два на 10 и т.д. Может быть естественнее было бы гласить “два и 10”, это Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики и сохранилось в наше речи.

Слово “20” обозначает два 10-ка. Числа третьего 10-ка (это числа вида 2·10+а0) получают методом добавления к слову “20” заглавий чисел первого 10-ка: 20 один, 20 два и т.д.

Продолжая Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики дальше счет, получим заглавие чисел 4-ого, 5-ого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого 10-ов. Заглавие этих чисел образуются так же, как и в границах третьего 10-ка, исключительно в 3-х случаях Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики возникают новые слова: 40 (для обозначения 4 10-ов), девяносто (для обозначения 9 10-ов) и 100 (для обозначения 10 10-ов). Наименования этих чисел образуются так же, как и в границах третьего, составляются из слова “100” и заглавий чисел первого Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики и следующих 10-ов. Таким методом образуются наименования: 100 один, 100 два,…, 100 20 и т.д. Отсчитав новейшую сотку, будем иметь две сотки, которые ради сокращенности именуют “двести”. Для получения чисел, огромных двухсотен, опять воспользуемся наименованиями чисел первого Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики и следующих 10-ов, присоединяя их к слову “двести”. Потом получим особенные наименования: триста, четыреста, 500 и т.д. до того времени, пока не отсчитаем 10 сотен, которые носят заглавие тыща.

Счет за пределами тыщи ведется Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики так: прибавляя к тыще по единице (тыща один, тыща два и т.д.), получим две тыщи, три тыщи и т.д. Когда же отсчитаем тыщу тыщ, то это число получит особенное наименование Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики – миллион. Дальше считаем миллионами до того времени, пока не дойдем до тыщи миллионов. Приобретенное новое число – тыща миллионов – имеет особенное заглавие млрд. Миллион миллионов именуется биллионом. В вычислениях миллион Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики принято записывать в виде 106, млрд – 109, биллион – 1012. По аналогии можно получить записи еще огромных чисел: триллион – 1015, квадриллион – 1018 и т.д.

Таким макаром, для того чтоб именовать все натуральные числа в границах млрд, потребовалось только Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики 16 разных слов: один, два, три, четыре, 5, 6, семь, восемь, девять, 10, 40, девяносто, 100, тыща, миллион, млрд. Другие наименования чисел (в границах млрд образуются из главных) [23, 24].

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в исходном курсе арифметики по Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики концентрам в разделах “Нумерация”.


^ 1.3. Количественные и порядковые натуральные числа. Счет.


Сейчас мы, по существу, уже довольно подготовлены к тому, чтоб наметить логическую схему, способную служить для педагога путеводной нитью при исходном обучении математике Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в младших классах, быть равномерно доведенной до сознания учащихся в средних классах, а в старших — подвести и к истинному научному дискуссии природы натурального числа. Но перед этим полезно очередное замечание относительно Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики терминологии. В грамматике различают количественные и порядковые числительные [23].

Порядковые числительные, подобно прилагательным, не являются именами каких-то новых предметов. Математик может употреблять слова:

1-ый, 2-ой, 3-ий, …

чтоб, к примеру, наименовать 1-ый, 2-ой Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, 3-ий член какой-нибудь последовательности

а1, а2, а3, …

Но эти словоупотребления не дают ему повода для введения особенных «порядковых чисел».

Количественные числительные один, два, три, четыре, 5, …, 100, …, тыща, …, миллион, … - имеют два главных значения:

а Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики) в соединении с наименованием рода предметов они обозначают огромное количество соответственной численности:

два мальчугана,

5 яблок,

тыща яиц и т.п.;

б) они являются именами, чисел.

Потому что существует только одно число «пять Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики» и одно-единственное число «тысяча», то при употреблении во 2-м смысле количественные числительные по самому их смыслу не допускают множественного числа. Практически у всех из их вообщем нет множественного числа, хотя при употреблении Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики числительных в смысле а) исходя из убеждений логики его наличие было бы естественно, как это имеет место для тыщи, миллиона и млрд. Для других количественных числительных множественное число появляется не Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики от их конкретно, а от слов пара, тройка, …, десяток, …., сотка, …

Мы говорим:

три пары лошадок,

много 10-ов яблок,

две тыщи яиц,

много миллионов птиц и т.д.


Одной из принципиальных задач при исходном Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики обучении математике является доведение до полной ясности потребления числительных в качестве собственных имен чисел. Понятно, что выражение «пять взять четыре раза» еще длительно кажется детям более понятным, чем «пять помножить на Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики четыре». Из-за архаичности грамматики задачка эта достаточно деликатна. Школьник должен осознавать, что существует только одно число «тысяча», но имеется и число «три тысячи», а три тыщи яиц реально могут состоять Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики из 3-х тыщ — «первой тысячи» в одном ящике, «другой тысячи» — во 2-м ящике и «третьей тысячи» в 3-ем ящике.

Эти неминуемые терминологические трудности могли быть еще осложнены при попытке вводить в простый Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики курс математики различение «количественных» и «порядковых» чисел. К счастью, оно совсем не надо в школе и совершенно не непременно при научном построении математики натуральных чисел.

Дошкольная стадия овладения математикой натуральных чисел безизбежно синкретична. Семилетний Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики ребенок, приходящий в школу, естественно, уже много раз пересчитывал предметы, пользуясь исходным участком последовательности слов

один, два, три, четыре, 5, …;

привык гласить о числе тех либо других предметов; видя три яблока и две Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики груши, соображает, что яблок больше, чем груш, и.т.п. В реальном общении с окружающими эти способности образуются без серьезной системы и нередко основаны только на частичном осознании.

Но в школе начинается Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики формирование определенной системы познаний о натуральных числах. Эта система, будет только равномерно осознаваться все более много, оставаясь, по существу, довольно жесткой.

1. Порядок. Нередко приходится располагать предметы в определенном порядке: буковкы в алфавите Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, людей в очереди, числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Расположенные по порядку буковкы либо числа можно употреблять для обозначения расположенных по порядку предметов другой природы: в школьном коридоре один за одним размещены класс А, класс Б, класс В Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, класс Г, на улице — дома с номерами


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.


Букв либо цифр может не хватить для обозначения расположенных по порядку предметов. После буковкы «Я» можно пустить в употребление пары букв

АА, АБ, АВ, …,


после цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — номер Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики 10, 11, 12, 13, ….

Пользуясь номерами, составленными из цифр, молвят о нумерации, либо пересчитывании, предметов.

2. Натуральные числа. Нельзя ли распорядиться так, чтоб номеров хватило во всех случаях, вроде бы много предметов ни пришлось пересчитывать? Для Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики этого нужно, чтоб ряд номеров длился «неограниченно». Этого люди и достигнули, создав натуральный ряд чисел. Не принципиально, из чего он составлен. Слова различных языков

один, два, три, четыре, …

one, two, three, four, …

либо Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики записи с помощью цифр

1, 2, 3, 4, …

можно считать только различными наименованиями поочередных натуральных чисел.

3. Численность огромного количества. Элементы огромного количества можно нумеровать числами (пересчитывать) в разном порядке.

Пересчет завершается всегда на одном и том же числе Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики. Получаем число частей огромного количества (его численность) n (М).

Одно из важных применений натуральных чисел в практической деятельности — это счет предметов. Выясним, что представляет собой эта операция. Пересчитывая элементы огромного количества А Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики = {х, у, z, t, и}, указывают на элементы данного огромного количества молвят: «первый», «второй», «третий», «четвертый», «пятый». Ведя счет, соблюдают ряд правил:, первым при счете может быть указан хоть какой элемент Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики огромного количества А, но ни какой-то из них не должен быть пропущен и сосчитан два раза.

Сосчитав элементы огромного количества ^ А, молвят, что в огромном количестве А 5 частей, т. е. получают количественную характеристику Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики этого огромного количества. Но для этого использовали порядковые натуральные числа «первый», «второй», «третий», «четвертый», «пятый». Другими словами, в процессе счета использовалось огромное количество {1, 2, 3, 4, 5}, которое именуют отрезком натурального ряда.

Уточним понятие Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики отрезка натурального ряда, конечного огромного количества и счета.

Определение. Отрезком Nа натурального ряда именуется огромное количество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

К примеру, отрезок N7 есть огромное количество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Можно Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики сказать, что отрезок натурального ряда Nа состоит из всех таких натуральных чисел х, что х ≤ а.

Отрезки натурального ряда владеют рядом параметров [41] :

1. Для хоть какого натурального числа а>1 правильно, что 1 є Nа Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики.

Вправду, потому что а>1, то его можно представить в виде а=1 + (а - 1). Последнее равенство значит, что 1<а. Означает, 1 є Nа.

2. Если число х содержится в отрезке Nа и х ≠ а, то и Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики число х+1 содержится Nа.

Потому что х є Nа и х ≠ а, то х<а. Последнее значит, что существует также натуральное число с, такое, что а = х + с. Если с=1, то х+1=а, а означает, что х+1 содержится в Nа. Если же с> 1, то с - 1 — натуральное число и, как следует, а=х+с=(х+1)+(с-1). Но тогда х+1<а, т. е. х+1 —натуральное Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики число, принадлежащее отрезку Nа.

Определение. Огромное количество А именуется конечным, если существует взаимно однозначное отображение этого огромного количества на некий отрезок Nа натурального ряда чисел, а само отображение А→Nа Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики есть счет частей огромного количества А.

К примеру, огромное количество вершин треугольника — конечное огромное количество, потому что его можно взаимно совершенно точно показать на отрезок N3 = {1, 2, 3}. Отображение огромного количества вершин треугольника на Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики отрезок {1, 2, 3} есть счет частей этого огромного количества.


^ Аксиома. Одно и то же огромное количество А не может быть взаимно совершенно точно отображено на два разных отрезка натурального ряда чисел.


Подтверждение. Если б огромное количество Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики А можно было взаимно одно­значно показать на два разных отрезка натурального ряда Nа и Nb (а≠b),. то было бы и взаимно однозначное отображение Nа на Nb. Потому довольно обосновать Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, что при а≠b взаимно однозначное отображение Nа на N нереально. Не считая того, меж хоть какими неравными натуральными числами имеет место одно из отношений: аb. Потому подтверждение данной аксиомы сводится к Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики подтверждению утверждения: если а
Нужно обосновать, что при а=1 не существует взаимно конкретного отображения огромного количества N Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики1 ={1} на огромное количество Nb, где b>1. Вправду, при, b>1 огромное количество Nb содержит число b≠1, и потому при любом отображении N1 в Nb хотя бы одно из чисел 1 либо b не Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики будет образом числа 1.

Представим сейчас, что для некого числа а нереально взаимно однозначное отображение Nа на Nb при а
Из рассмотренной аксиомы следует, что каждому конечному огромному количеству ^ А может быть поставлено в соответствие такое единственное число а, что огромное количество А Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики взаимно совершенно точно отображается на отрезок натурального ряда Nа. Это число а именуют числом частей в огромном количестве А и пишут: п(А) = а. Получаемое в этом смысле число а есть количественное натуральное Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики число.

Таким макаром, при пересчете элементы конечного огромного количества А не только лишь расставляются в определенном порядке (при всем этом употребляются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый:», «второй», «третий» и т.д Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики.), да и устанавливается также, сколько частей содержит огромное количество А (при всем этом «пользуются количественные натуральные числа, выражаемые числительными «один», «два», «три» и т. д.).

Анализ сути счета указывает: для Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики того чтоб вести счет, нужно заблаговременно иметь достаточный припас чисел, при этом числа должны владеть рядом параметров: размещаться в определенном порядке, должно существовать 1-ое число и т.д.

Тесноватая связь порядкового и количественного Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики натурального числа отыскала отражение и в исходном обучении арифметике. С этими числами учащиеся знакомятся уже при исследовании чисел первого 10-ка. Происходит это при счете частей разных множеств.

^ 1.4. Методы сложения и вычитания Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики натуральных чисел в десятичной системе счисления

Сложение

Как понятно, сложение конкретных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого деяния. Но чтоб каждый раз, выполняя сложение таких чисел, не обращаться к огромным количествам и счету, все суммы, которые Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики получаются при сложении конкретных чисел, записывают в необыкновенную таблицу, именуемую таблицей сложения конкретных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для неоднозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особенным Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики правилам. Сумму неоднозначных чисел обычно находят, выполняя сложение «столбиком».

К примеру, .

Выясним, каким образом появляется этот метод, какие теоретические положения лежат в его базе.

Представим слагаемое 341 и 7238 в виде суммы степеней 10 с коэффициентами Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики: 341+7238 = (3·102+4·10+1)+(7·103+2·102+3·10+8).

Раскроем скобки в приобретенном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтоб единицы оказались рядом с единицами, 10-ки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики основании соответственных законов сложения. Вправду, ассоциативный закон сложения разрешает записать выражение без скобок:

3·102+4·10+1+7·103+2·102+3·10+8.

На основании коммутативного закона сложения поменяем местами слагаемые: 7·103+3·102+2·102+4·10+3·10+1+8.

Согласно ассоциативному закону сложения произведем группировку:

7·103+(3·102+2·102)+(4·10+3·10)+(1+8).

Вынесем за скобки в первой выделенной группе число Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики 102, а во 2-ой – 10. Это можно сделать в согласовании с дистрибутивным законом умножения относительно сложения:

7·103+(3+2)·102+(4+3)·10+(1+8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свилось к сложению конкретных чисел, изображенных цифрами соответственных разрядов. Эти суммы находим Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики по таблице сложения: 7·103+5·102+7·10+9.

Приобретенное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Лицезреем, что в базе метода сложения неоднозначных чисел лежат последующие теоретические факты [45]:

  • метод записи чисел в десятичной системе счисления;

  • коммутативный и ассоциативный законы сложения Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики;

  • дистрибутивный закон умножения относительно сложения;

  • таблица сложения конкретных чисел.

К примеру, нужно сложить 273+524 =зап. в д. с. с. =(2*102 + 7*10 +3)+ 3 (5*102 + 2*10 + 4)=ком. и ассоц. зак. слож. =(5 + 2)*102 + (7 + 20*10 + (3 + 40)=табл.слож. =7*102 + 9*10 + 7=797

Выведем метод сложения неоднозначных чисел в десятичной Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики системе счисления в общем виде. Пусть даны числа: x=an*10n + … +a0 и y=bn*10n +…+ b0, т. е. мы рассматриваем случай, когда число цифр в записи х и у Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики идиентично. Применим коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы сложения ц. н. ч. Получим сумму х+у = (an + bn)*10n +…+(a0+b0) (1). Сумму (1) нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, т. к. коэффициенты перед степенями Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики 10 могут быть >9. Только в случае, когда все суммы ak + bk не превосходят 9. Только в случае, когда все суммы ak + bk не превосходят 9, т. е. 0≤аk +bk<9, операцию сложения можно считать законченной. В Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики неприятном случае избираем меньшее k, для которо-го ak + bk≥10. Если ak + bk≥10, то из того, что 0≤ak<9 и 0≤bk0≤ak + bkak + bk можно представить в виде ak + bk = 10 + ck , где 0≤ck<9. Тогда (ak + bk)*10k=10k+1 + ck*10k. В силу параметров сложения и умножения b(an + bn)*10n + …+ (a0 + b0) слагаемые (ak+1 + bk+1)*10k+1 + (ak + bk)*10k могут быть изменены на (ak+1 + bk+1 + 1)*10k+1 + ck*10k. После чего рассматриваем коэффициенты an + bn,…,ak+2 + bk+2, ak+1 + bk+1 + 1, избираем меньшее s, при котором коэффициент >9, и повторяем Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики описанную функцию. Через n шагов придем к выражению вида: x + y= (cn + 10)*10n + … +c0, где cn≠0,либо x + y=10n+1 + cn*10n +…+c0,где для всех n производится 0≤с0<10. Тем получим десятичную запись Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики числа х + у. Если в десятичной записи чисел х и у содержится различное количество цифр, то к числу, имеющему наименьшее количество цифр, впереди приписывают несколько нулей, добавляя тем количество цифр в обоих Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики слагаемых и используют описанный процесс сложения [23, 24, 41].

Метод сложения натуральных чисел.

  1. Записывается 2-ое слагаемое под первым так, чтоб надлежащие разряды находились друг под другом.

  2. Складывают числа разряда единиц. Если сумма меньше 10, записывают Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики ее в разряд единиц ответа и перебегают к последующему уровню.

  3. Если сумма цифр единиц больше 10, то ее представляют в виде a0 + b0= 10 + c0, где c0 – однозначное число. Записывают c0 в разряд единиц к Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики уровню 10-ов.

  4. Повторяют те же деяния с десятками и т. д. процесс завершается, когда оказываются сложенными числа старших разрядов.

  5. Если их сумма ≥10, то приписывают впереди обоих слагаемых 0, наращивают 0 перед 1-м слагаемым Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики на 1, делают сложение 1+0=1.

Вычитание

Понятно, что вычитание конкретного числа b из конкретного числа а, не превосходящего 18, сводится к поиску такового числа С, что а = b+С, и происходит с учетом таблицы Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики сложения конкретных чисел.

Если же числа а и b неоднозначные и аb, то смысл деяния вычитания остается этим же, что и для вычитания в границах 20, но техника нахождения разности становится другой: разность неоднозначных чисел в Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики большинстве случаев находят “столбиком”. К примеру,

.

Выясним, каким образом появляется этот метод, какие теоретические положения лежат в его базе.

Разглядим разность чисел 485 и 231. Представим данные числа в виде суммы степеней 10 с коэффициентами Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики:

485-231 = (4·102+8·10+5)-(2·102+3·10+1).

Чтоб отнять из числа 4·102+8·10+5 сумму 2·102+3·10+1, довольно отнять из него каждое слагаемое одно за другим: (4·102++5)-(2·102-3·10-1).

Чтоб отнять число из суммы, довольно отнять его из какого-либо 1-го слагаемого. Потому число 2·102 вычтем из Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики слагаемого 4·102, число 3·10 – из слагаемого 8·10, а число 1 – из слагаемого 5:

(4·102-2·102)+(8·10-3·10)+(5-1).

На основании дистрибутивного закона умножения относительно вычитания вынесем за скобки 102 и 10.

(4-2)·102+(8-3)·10+(5-1).

Лицезреем, что вычитание трехзначных чисел, изображенных цифрами соответственных разрядов. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики по таблице сложения и получаем выражение: 2·102+5·10+4. Как следует, 485-231 = 254.

Лицезреем, что в базе метода вычитания неоднозначных чисел лежат последующие теоретические положения [45]:

  • метод записи чисел в десятичной системе счисления;

  • правила вычитания числа из Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики суммы и суммы из числа;

  • дистрибутивный закон умножения относительно вычитания;

  • таблица сложения конкретных чисел.

Несложно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, наименьшее числа в том же разряде Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вычитаемого, то в базе метода вычитания лежат те же теоретические факты.

Разглядим, к примеру, разность 760-326.

Представим числа 760 и 326 в виде суммы степеней 10 с коэффициентами: (7·102+6·10+0)-(3·102+2·10+6).

Так как из числа 0 нельзя отнять 6, то Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики выполнить вычитание так же, как в первом случае, нереально. Потому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать: (7·102+5·10+10)-(3·102+2·10+6).

Если сейчас пользоваться правилами Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вычитания суммы из числа и числа из суммы, также дистрибутивным законом умножения относительно вычитания, то придем к выражению: (7-3)·102+(5-2)·10+(10-6) либо 4·102+3·10+4.

Последняя сумма есть десятичная запись числа 434. Означает 760-326 = 434.

Выведем метод вычитания неоднозначных чисел в общем Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики виде [41]. Пусть даны два числа х и у: x = an·10n+an-1·10n-1+…+a0 и y = bn·10n+bn-1·10n-1+…+b0 и понятно, что у<х. Используя характеристики вычитания числа из суммы и суммы Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что (*) х - у = (an-bn)·10n+(an-1-bn-1)·10n-1+…+(a0-b0).

Эта формула задает метод вычитания, но при условии, что для всех k Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики производится, то берем меньшее k, для которого akk и am0, а am-1 = … = ak+1=0. Имеет место равенство am·10m = (am-1)·10m+9·10m-1+…+9·10k+1+10·10k (к примеру, если m = 4, k = 1, am = 6, то 6·104 = 5·104+9·103+9·102+10·10). Потому в равенстве (*) выражение Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики (am-bm) ·10m+…+(ak-bk) ·10k можно поменять на (am-bm-1) ·10m+…+(9-bь-1) ·10m-1+…+(9-bk-1) ·10k+1+(ak+10·bk)·10k. Из того, что ak
Описанный процесс позволяет сконструировать в Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики общем виде метод вычитания чисел в десятичной системе счисления[23, 24, 41].

  1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтоб надлежащие разряды находились друг под другом.

  2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответственной числа уменьшаемого, вычитаем Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики ее из числа уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после этого перебегаем к последующему уровню.

  3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0>a0, а цифра 10-ов уменьшаемого Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики отлична от нуля, то уменьшаем цифру 10-ов уменьшаемого на 1, сразу увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после этого вычитаем из числа 10+а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики, дальше перебегаем к последующему уровню.

  4. Если цифра единиц вычитаемого больше числа единиц уменьшаемого и числа, стоящие в разряде 10-ов, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую лучшую от Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все числа в младших разрядах до разряда 10-ов включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10+а0, записываем разность Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики в разряде единиц искомого числа и перебегаем к последующему уровню.

  5. В последующем разряде повторим описанный процесс.

  6. Вычитание завершается, когда делается вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

В исходном курсе арифметики правило вычитания Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики неоднозначных чисел формулируется при исследовании вычитания трехзначных чисел. Этому правилу и записи вычитания «столбиком» предшествует разъяснение:

485-231 = (400+80+5) – (200+30+1) = (400 - 200) + (80-30) + (5-1) =

= 200+50+4 = 254

Обоснуем выполнение преобразования. Поначалу числа 485 и 231 представляются в виде сумм разрядных слагаемых. Потом из сотен первого числа Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики вычитаются сотки второго, из 10-ов – 10-ки, из единиц – единицы, что может быть, говоря языком школьника, на базе правила вычитания суммы из суммы. Заметим, что оно вытекает из правила вычитания числа из суммы и Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики суммы из числа. Разности в скобках находят с учетом таблицы сложения конкретных чисел. Выражение 200+50+4 есть сумма разрядных слагаемых, потому его можно записать в виде 254. Таким макаром, вычитание из 485 числа 231 сводится к поразрядному вычитанию Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики единиц, 10-ов и сотен, что комфортно делать, ведя запись «столбиком»:


Выводы по главе 1


В первой главе выпускной квалификационной работы раскрыты теоретические базы формирования вычислительных способностей сложения и вычитания у младших школьников в Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики процессе исследования арифметики. Тут рассмотрены факты из истории появления систем счисления; исследованы запись и заглавие чисел в десятичной системе счисления, также методы сложения и вычитания натуральных чисел в десятичной системе Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики счисления; не считая того дано теоретико-множественное толкование операций сложения и вычитания

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними именуют системой счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики и тот же символ может обозначать разные числа зависимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так шестидесятеричная вавилонская система и десятичная система счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики тем, что каждый символ (из совокупы символов, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда значит одно и тоже число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики таковой системы может служить римская система, появившаяся в средние века.

Десятичной записью натурального числа x на­зывается его представление в виде: х = an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0, где коэффициенты an, an Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики-1, …, a1, a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и a n ¹ 0.

В базе метода сложения натуральных чисел лежат последующие теоретические положения: запись чисел в десятичной системе счисления; коммутативный и ассоциативный законы сложения; дистрибутивный закон умножения относительно сложения Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики; таблица сложения конкретных чисел. В базе метода вычитания натуральных чисел лежат последующие теоретические положения: запись чисел в десятичной системе счисления; правила вычитания; дистрибутивный закон умножения относительно вычитания; таблица сложения конкретных чисел Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики.

С теоретико-множественных позиций:

- сумма натуральных чисел а и b представляет собой число частей в объединении конечных непересекающихся множеств А и В, при этом а = n(А), b = n(В):

a + b Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики = n (А Ú В) = n (А) + n (В),

- разность натуральных чисел a и b представляет собой число частей в дополнении огромного количества В до А, где а = n(A), b = n(B) и BÌA Выпускная квалификационная работа Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в начальном курсе математики:

а – b = n(A) - n(B) = n(A\В) = n(`Ва)




vipuklost-funkcii-na-otrezke-neobhodimoe-i-dostatochnoe-uslovie.html
vipuklost-okolososkovih-kruzhkov.html
vipushennie-dolgovie-cennie-bumagi-moskovskoe-glavnoe-territorialnoe-upravlenie-banka-rossii.html