Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.

Определение: По определению кривая именуется выпуклой вниз (ввысь) на отрезке [a,b], если неважно какая дуга этой кривой с концами в точках ()размещена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Огромное количество именуется выпуклым, если для всех 2-ух точек этого огромного количества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом огромном количестве Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие..


Неровность вверхВыпуклое огромное количество

Неровность внизНевыпуклое огромное количество

Аксиома 1 (нужное и достаточное условие неровности на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтоб кривая была выпуклой наверх (книзу) на [а,b], нужно и довольно, чтоб производилось неравенство ( ) для всех .

Подтверждение:

Пусть наша Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. кривая выпукла наверх на [a,b]. Тогда для всех х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если сейчас и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким макаром, ( , и, переходя к лимиту при , получим неравенство , показывающее, что Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. производная на интервале (a,b) не увеличивается. Но тогда на (a,b).

Назад, пусть и . Нам необходимо обосновать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Потому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= . Но в правой части этой цепочки равенств 1-ый член по предположению отрицательный, а 2-ой неположительный, потому правая Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Подтверждение в случае аналогично.

Аксиома подтверждена.

Билет 23

Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Аксиома 1:(Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некой округи точки а,

в этой округи и в той же округи, тогда, если , то

Подтверждение:

A – конечное.

Доопределим функции Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Аксиома подтверждена.

Замечание: оборотное ошибочно.

Пример:

Билет 24

Правило Лопиталя. Случай .

Аксиома:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некой округи точки a и и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. в некой выколотой округи точки a, тогда, если

, то и

Подтверждение:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно отыскать таковой номер, для которого будут производиться оба неравенства:

,

Используя определения можно записать Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем сейчас предел дела к :

[ можно добавить либо отнять , предел от этого не поменяется ]

[ воспользуемся аксиомой Коши: либо - глядя, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совершенно аксиому о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такая, что из хоть Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. какой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному либо нескончаемому А, то предел =А) мы пока только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не означает, что сама последовательность сходится.

Сейчас возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.-только доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.

Сейчас мы взяли произвольную последовательность, потому

При этом принципиально, чтоб предел дела производных существовал. Аксиома подтверждена.

Билет 25

Раскрытие неопределенностей вида , , , , .

Не считая рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых разумеется. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям либо Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие. алгебраическими преобразованиями.

1) Неопределенность (при).

Ясно, чтолибо .

2) Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .

Согласно определению этой функции . , то .

3) Неопределенность ( , , при )

Просто созидать, что .

Билет 26


vipusk-n-142-forum-snovidenij-ili-obratnaya-svyaz.html
vipusk-n-159-paraziti-tela.html
vipusk-n-168-sistemoobrazuyushie-recepti.html